Persamaan Difusi (Aliran Kalor)

Bentuk persamaannya adalah
$nabla ^2U=frac {1}{alpha ^2}frac {partial U}{partial t}$ ; $frac {1}{alpha ^2}-frac {k}{PC}$

$k=$ Konduktivitas Termal

$P=$ Kerapatan Bahan

$C=$ Kalor Jenis

Kita akan menyelesaikan: $nabla ^2U=frac {1}{alpha ^2}frac {partial U}{partial t}$

$U=(x,y,z,t)=...?$

Dengan menggunakan separasi variabel.

$U(x,y,z,t)=F(x,y,z)T(t)$

$F(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$
$frac {partial F}{partial x}=YZfrac {dX}{dx}$
$frac {partial ^2F}{partial x^2}=YZfrac {d^2X}{dx^2}$
$frac {partial F}{partial y}=XZfrac {dY}{dy}$ dst

$U(x,y,z,t)=F(x,y,z)T(t)$
$YZfrac {d^2X}{dx^2}+XZfrac {d^2Y}{dy^2}+XYfrac {d^2Z}{dz^2}=0rightarrow$ dibagi $XYZ$
$frac {1}{x}frac {d^2 X}{dx^2}+frac {1}{y}frac {d^2Y}{dy^2}+frac {1}{z}frac {d^2Z}{dz}=0$
$nabla ^2U=frac {1}{alpha ^2}frac {partial U}{partial E}$
$nabla ^2(FT)=frac {1}{alpha ^2}frac {partial (FT)}{partial t}$
$Tnabla ^2F=frac {F}{alpha ^2}frac {partial T}{partial t}rightarrow$ dibagi $FT$
Jadi: $frac {1}{F}nabla ^2F=frac {1}{Talpha ^2}frac {partial T}{partial t}$
Ruas kiri hanya fungsi $x,y,z$ sedangkan ruas kanan hanya fungsi $t$

Untuk menyelesaikan persamaan yang terakhir ini, kedua ruas harus merupakan tetapan yang sama, yaitu $-k^2$
$frac {1}{F}nabla ^2F=-k^2$
$nabla ^2F+k^2F=0$
$F(x,y,z)=...?$

$frac {1}{Talpha ^2}frac {dT}{dt}=-k^2$
$frac {dT}{dt}=-k^2alpha ^2T$
$frac {dT}{dt}+k^2alpha ^2T=0$
$int frac {dT}{dt}=-k^2alpha ^2int dt$
$ln T=-k^2alpha ^2T$
$^elog T=-k^2alpha ^2t$
$T=e^{-k^2alpha ^2t}$

Title : Persamaan Difusi (Aliran Kalor)
Description : Bentuk persamaannya adalah ; Konduktivitas Termal Kerapatan Bahan Kalor Jenis Kita akan menyelesaikan: Dengan menggunakan...