Massa proton mp jauh lebih besar disbanding massa elektron me, mp = 1836 me.
Di dalam pembahasan pada bab ini dilakukan penyederhanaan berupa asumsi
proton diam di pusat koordinat dan elektron bergerak mengelilinginya di
bawah pengaruh medan atau gaya Coulumb.
Gambar. 5.1. Posisi relatif antara proton dan elektron
Pendekatan yang lebih baik dilakukan
dengan memandang kedua partikel proton dan elektron berotasi di sekitar
pusat massa bersama yang berada (sedikit) di dekat pusat proton. Tetapi,
sekali lagi untuk penyederhanaan, efek ini dihilangkan di sini.
Karena proton dianggap diam, maka kontribusi energi sistem hanya diberikan oleh elektron yaitu energi kinetik.
(5.1)
dan energi potensial
(5.2)
Yaitu 
(5.3)
Dengan demikian, persamaan SchrÖdinger untuk atom hidrogen :
(5.4)
Mengingat sistem atom hidrogen mempunyai simetri bola, analisis menjadi lebih sederhana bila operator Ñ2 diungkapkan dalam koordinat bola. Di dalam koordinat bola (r,q,j), pers. (5.4) menjadi
(5.5)
Selanjutnya, untuk mendapatkan solusi untuk Persamaan(5.5) di atas dilakukan pemisahan variabel sebagai berikut
(5.6)
Substitusi ungkapan Persamaan (5.6) ke dalam Persamaan (5.5) kemudian dikalikan dan dibagi ungkapan Persamaan (5.6) didapatkan
(5.7)
Dari Persamaan (5.7) ini tampak bahwa suku pertama dan keempat hanya bergantung pada jari – jari r, suku kedua dan ketiga hanya bergantung sudut q dan j.
Penjumlahan
suku – suku yang hanya bergantung pada jari – jari dan dua sudut ini
akan selalu sama dengan nol untuk sembarang nilai r, q, dan j
jika masing – masing suku sama dengan konstanta. Seperti pada Persamaan
(5.9b), tetapkan keduanya sama dengan tetapan . Suku
yang hanya bergantung jari – jari menjadi
(5.8a)
Atau
(5.8b)
Sedangkan suku yang hanya mengandung sudut q dan j menjadi
(5.9a)
Setelah dikalikan dengan sin2q, pers. (5.9a) menjadi
(5.9b)
Tampak bahwa Persamaan (5.9b) juga terpisah menjadi dua bagian yaitu bagian yang hanya bergantung pada azimut j dan bagian yang bergantung pada q. Selanjutnya tetapkan masing – masing bagian sama dengan konstanta –m2, dan m2. Dengan alasan yang akan menjadi jelas kemudian, pilih
(5.10a)
Atau
(5.10b)
Sehingga
(5.11a)
Atau, setelah dikalikan dengan diperoleh
(5.11b)
Dengan demikian, Persamaan (5.5)
dapat dipisah menjadi tiga persamaan deferensial biasa. Selanjutnya,
kita tentukan solusi masing – masing persamaan tersebut.
Title : FISIKA KUANTUM : PERSAMAAN SCHRÖDINGER ATOM HIDROGEN
Description : Massa proton m p jauh lebih besar disbanding massa elektron m e , m p = 1836 m e . Di dalam pembahasan pada bab ini dilakukan penyederh...
