Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang Y bersesuaian dengan variabel gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun, Y
tidak seperti y, bukanlah suatu kuantitas yang dapat terukur, sehingga
dapat berupa kuantitas kompleks. Karena itulah kita akan menganggap Y dalam arah x dinyatakan oleh
(3.4)
Jika kita ganti w dalam rumus di atas dengan 2pV
dan v dengan lV, diperoleh
(3.5)
Yang bentuknya menguntungkan, karena kita telah mengetahui hubungan V dan l dinyatakan dalam energi total E dan momentum p dari partikel yang diperikan oleh Y. Karena
dan 
Diperoleh
(3.6)
Persamaan (3.6) merupakan penggambaran matematis gelombang ekivalen dari partikel bebas yang berenergi total E dan bermomentum p yang bergerak dalam arah +x.
Pernyataan fungsi gelombang Y
yang diberikan dalam Persamaan (3.6) hanya berlaku untuk partikel yang
bergerak bebas, sedangkan kita lebih tertarik pada situasi dengan gerak
partikel yang dipengaruhi berbagai pembatasan. Yang harus kita lakukan
sekarang adalah mendapatkan Persamaan diferensial pokok untuk Y, kemudian memecahkan Y untuk situasi yang khusus. Persamaan ini, yang disebut Persamaan SchrÖdinger
dapat diperoleh dengan berbagai cara, tetapi semuanya mengandung
kelemahan yang sama : Persamaan itu tidak dapat diturunkan secara ketat
dari prinsip fisis yang ada karena Persamaan itu menyatakan sesuatu yang
baru. Apa yang akan dilakukan di sini adalah menunjukkan suatu cara
untuk memperoleh Persamaan gelombang Y, kemudian membahas pentingnya hasil tersebut.
Kita mulai dengan mendiferensiasi Persamaan (3.6) dua kali terhadap x yang menghasilkan
(3.7)
dan sekali terhadap t, diperoleh
(3.8)
Untuk kelajuan yang kecil terhadap kelajuan cahaya, energi total partikel E ialah jumlah dari energi elektron p2/2m dan energi potensial V, dengan V pada umumnya merupakan fungsi kedudukan x dan waktu t :
(3.9)
Fungsi V
menyatakan pengaruh dari sisa semesta pada partikel. Tentu saja, hanya
sebagian dari semesta yang berinteraksi dengan partikel ; misalnya dalam
kasus elektron dalam atom hidrogen, hanya medan listrik inti yang
diperhitung-kan.
Dengan mengalikan kedua suku Persamaan (3.9) dengan fungsi gelombang Y, akan menghasilkan :
(3.10)
Dari Persamaan (3.7) dan (3.8), dapat dilihat bahwa
(3.11)
Dan
(3.12)
dengan mensubstitusikan pernyataan untuk E Y dan p 2 Y dalam Persamaan (3.10) akan diperoleh
(3.13)
Persamaan terakhir ini adalah Persamaan SchrÖdinger yang Bergantung – Waktu. Dalam tiga dimensi, Persamaan SchrÖdinger bergantung – waktu diberikan oleh
(3.14)
Di mana energi potensial partikel V merupakan fungsi dari x, y, z, dan t.
Persamaan gerak kuantum partikel di dalam potensial V (x, t) diberikan oleh
(3.15)
Setiap pembatasan yang dapat membatasi gerak partikel dapat mempengaruhi fungsi energi potensial V. Sekali bentuk V diketahui, Persamaan Schrodinger – nya dapat dipecahkan untuk mendapatkan fungsi gelombang partikel Y, sehingga kerapatan peluang |Y|2 dapat ditentukan untuk x, y, z, dan t tertentu.
Di sini Persamaan SchrÖdinger diperoleh mulai dari fungsi gelombang partikel yang bergerak bebas. Perluasan Persamaan SchrÖdinger untuk kasus khusus partikel bebas (energi potensial V = konstan) ke kasus umum dengan sebuah partikel yang mengalami gaya sembarang yang berubah terhadap ruang dan waktu [ V = V(x, y, z, t )]
merupakan suatu kemungkinan yang bisa ditempuh, tetapi tidak ada satu
cara “a priori” yang membuktikan perluasan itu benar. Yang bisa kita
lakukan hanyalah mengambil postulat bahwa Persamaan SchrÖdinger
berlaku, pecahkan untuk berbagai situasi fisis dan bandingkan hasilnya
dengan hasil eksperimen. Jika hasilnya sesuai, maka postulat yang
terkait dalam Persamaan SchrÖdinger sah ; jika tidak sesuai, postulatnya harus dibuang dan pendekatan yang lain harus dijejaki. Dengan kata lain,
Persamaan SchrÖdinger tidak bisa diturunkan dari “prinsip pertama”, tetapi Persamaan itu merupakan prinsip pertama.
Dalam kenyataannya, Persamaan SchrÖdinger
telah menghasilkan ramalan yang sangat tepat mengenai hasil eksperimen
yang diperoleh. Tentu saja, harus kita ingat bahwa Persamaan (3.14)
hanya bisa dipakai untuk persoalan non – relativistik dan rumusan yang
lebih memakan pikiran diperlukan jika kelajuan partikel yang mendekati
kecepatan cahaya tertkait. Karena Persamaan itu bersesuaian dengan
eksperimen dalam batas-batas berlakunya, kita harus mengakui bahwa
Persamaan SchrÖdinger menyatakan suatu postulat yang berhasil mengenai aspek tertentu dari dunia fisis
